数学の難問3つ。中学までの知識で解ける、大学入試レベルの問題

中学校レベルの知識でも解ける
けっこう難しめの問題3問紹介します。

難しいといっても決して
「東大の入試レベル」なんて超難しいものじゃなく
一般の人でも普通に解ける可能性のある問題だけです。

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では行きますね。


Q1:何通りの買い方?

牛丼1つを5ドル、お茶1本を1ドル、ショウガは20個1ドルで買えます。
ちょうど100ドルで合計100個(お茶は「本」でカウント)のものを買うのに、
複数通りの買い方があります。

それをすべて求めて下さい。















答え



牛丼は0または19
お茶は100または1
ショウガは0または80



牛丼をX、お茶をY、ショウガをZとすると、

X+Y+Z=100①

5X+Y+20分のZ=100

100X+20Y+Z=2000②


② から①を引いて、
99X+19Y=1900


X=0と19


答えは
(X、Y、Z)=(0、100、0)、(19、1、80)




まずは1問目なので優しめのものにしました。

連立方程式さえできれば解けるものですので
そこまで難しくはないはずです。


ただ、「答えが複数通りある」と最初に聞いてしまうと
「他のも答えがあるんじゃないか?」という気持ちになる人が多いはずなので
そういう意味では結構悩む可能性のある問題です。

        

Q2:サイコロの合計

3つのサイコロの合計が9と10では確率が違います。
9の目と10の目の出る確率の比を求めて下さい。

















答え



25:27

9の目になるのは

6,2,1 が6通り
5,3,1 が6通り
5,2,2 が3通り
4,4,1 が3通り
4,3,2 が6通り
3,3,3 が1通り


合計25通り



10の目になるのは

6,3,1 6通り
6,2,2 3通り
5,4,1 6通り
5,3,2 6通り
4,4,2 3通り
4,3,3 3通り


合計27通り




1つ1つ数えていくことで答えが求められます。
ただ、数え間違いをする可能性がかなり高い問題でもあるのです。

9の目の3,3,3の9とか、
意外と盲点で1つ数え飛ばしてしまうことが多かったり。

きちんとそれぞれが何通りなのか間違わずに当てられた人は
正確さに優れていると言えます。

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Q3:約数の和

15552の約数の和はいくつになる?

(約数とは、1とそれ自身を含みます。
例えば12の約数は、1、2、3、6、12です。)















答え



46228



15552=2の6乗×3の5乗。

総和をSとすると、
S=(2の0乗+2の1乗+…2の6乗)×(3の0乗+3の1乗+…3の5乗)


展開すると、すべての約数の和になっています。
(2の0乗+2の1乗+…2の6乗)(2-1)
=(2の1乗+2の2乗…+2の7乗)-(2の0乗+2の1乗…+2の6乗)
=2の7乗-1


2の0乗+2の1乗+…2の6乗=(2の7乗-1)÷(2-1)

同様に、3の0乗+3の1乗…+3の5乗=(3の6乗-1)÷(3-1)



S=(2の7乗―1)÷(2-1)・(3の6乗―1)÷(3-1)=46228



これも本来は難しくはないのですが
解き方が分からない、とつまった人もいたかと思います。

○の○乗って存在は、普段数学に触れている人じゃないと
忘れてしまっているかもしれませんし、
覚えていたとしても計算の仕方までは覚えていないかもしれません。


でもそんな方でも
「15552=2の6乗×3の5乗」まで行くことができれば
あとは1つ1つ足し算していけば答えに辿りつくことだってできます。

今回ポイントにしたのは
その気になれば中学生までの知識で解けるかどうかなので。




終わりに

タイトルに「難問」という言葉を入れましたが
普段から数学の勉強をしている人なら
基礎的な問題だったかもしれません。


でも、数学をやらない人にとっては
分かるか分からないかかなり微妙なラインの問題
だったはずです。


是非ぜひ楽しく頭を使って欲しいと思います。

        

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