けっこう難しめの問題を３問紹介します。
難しいといっても決して
「東大の入試レベル」なんて超難しいものじゃなく
一般の人でも普通に解ける可能性のある問題だけです。
では行きますね。
Ｑ１：何通りの買い方？
牛丼１つを５ドル、お茶１本を１ドル、ショウガは２０個１ドルで買えます。ちょうど１００ドルで合計１００個(お茶は「本」でカウント)のものを買うのに、
複数通りの買い方があります。
それをすべて求めて下さい。
答え
牛丼は０または１９
お茶は１００または１
ショウガは０または８０
牛丼をＸ、お茶をＹ、ショウガをＺとすると、
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１００①
５Ｘ＋Ｙ＋２０分のＺ＝１００
１００Ｘ＋２０Ｙ＋Ｚ＝２０００②
②から①を引いて、
９９Ｘ＋１９Ｙ＝１９００
Ｘ＝０と１９
答えは
（Ｘ、Ｙ、Ｚ）＝（０、１００、０）、（１９、１、８０）
まずは１問目なので優しめのものにしました。
連立方程式さえできれば解けるものですので
そこまで難しくはないはずです。
ただ、「答えが複数通りある」と最初に聞いてしまうと
「他のも答えがあるんじゃないか？」という気持ちになる人が多いはずなので
そういう意味では結構悩む可能性のある問題です。
Ｑ２：サイコロの合計
３つのサイコロの合計が９と１０では確率が違います。９の目と１０の目の出る確率の比を求めて下さい。
答え
２５：２７
９の目になるのは
６，２，１ が６通り
５，３，１ が６通り
５，２，２ が３通り
４，４，１ が３通り
４，３，２ が６通り
３，３，３ が１通り
合計２５通り
１０の目になるのは
６，３，１ ６通り
６，２，２ ３通り
５，４，１ ６通り
５，３，２ ６通り
４，４，２ ３通り
４，３，３ ３通り
合計２７通り
１つ１つ数えていくことで答えが求められます。
ただ、数え間違いをする可能性がかなり高い問題でもあるのです。
９の目の３，３，３の９とか、
意外と盲点で１つ数え飛ばしてしまうことが多かったり。
きちんとそれぞれが何通りなのか間違わずに当てられた人は
正確さに優れていると言えます。
Ｑ３：約数の和
１５５５２の約数の和はいくつになる？（約数とは、１とそれ自身を含みます。
例えば１２の約数は、１、２、３、６、１２です。）
答え
４６２２８
１５５５２＝２の６乗×３の５乗。
総和をＳとすると、
Ｓ＝(２の０乗＋２の１乗＋…２の６乗)×（３の０乗＋３の１乗＋…３の５乗）
展開すると、すべての約数の和になっています。
（２の０乗＋２の１乗＋…２の６乗）（２－１）
＝（２の１乗＋２の２乗…＋２の７乗）－（２の０乗＋２の１乗…＋２の６乗）
＝２の７乗－１
２の０乗＋２の１乗＋…２の６乗＝（２の７乗－１）÷（２－１）
同様に、３の０乗＋３の１乗…＋３の５乗＝（３の６乗－１）÷（３－１）
Ｓ＝（２の７乗―１）÷（２－１）・（３の６乗―１）÷（３－１）＝４６２２８
これも本来は難しくはないのですが
解き方が分からない、とつまった人もいたかと思います。
○の○乗って存在は、普段数学に触れている人じゃないと
忘れてしまっているかもしれませんし、
覚えていたとしても計算の仕方までは覚えていないかもしれません。
でもそんな方でも
「１５５５２＝２の６乗×３の５乗」まで行くことができれば
あとは１つ１つ足し算していけば答えに辿りつくことだってできます。
今回ポイントにしたのは
その気になれば中学生までの知識で解けるかどうかなので。
終わりに
タイトルに「難問」という言葉を入れましたが普段から数学の勉強をしている人なら
基礎的な問題だったかもしれません。
でも、数学をやらない人にとっては
分かるか分からないかかなり微妙なラインの問題だったはずです。
是非ぜひ楽しく頭を使って欲しいと思います。
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